Atunci cand incepi sa inveti Algebra, Analiza Matematica sau Geometrie si Trigonometrie ai nevoie de meditatii matematica online .
Aria sferei se calculeaza in manualul de Geometrie si Trigonometrie de clasa a X-a intr-un mod original. In demonstratie se tine cont de faptul ca volumul sferei poate fi aproximat cu volumul unui numar infinit de mare de piramide triunghiulare alaturate care au fiecare cate un varf in centrul sferei si baza formata din celelate 3 varfuri pe suprafata sferei. In aceste conditii, aria sferei poate fi deasemenea aproximata cu suma ariilor bazelor piramidelor.
Problema este ca in aceasta demonstratie se foloseste formula volumului piramidei ((A bazei x h)/3 ). Daca stii cum se calculeaza volumul piramidei, atunci aceasta demonstratie ti se va parea simpla. Determinarea volumului piramidei insa nu este totusi prea usoara.
Iata insa o demonstratie usoara la care m-am gandit. Sa ne imaginam ca sfera noastra este globul pamantesc. Planeta Pamant este alcatuita din mai multe straturi concentrice suprapuse. Volumul Pamantului este egal cu suma volumelor acestor straturi concentrice. Ne putem imagina sfera ca fiind alcatuita din miliarde de straturi concentrice suprapuse de grosimea unui balon de sapun (grosimea unui strat este foarte mica). La limita, putem avea o infinitate de straturi concentrice suprapuse (grosimea fiecarui strat se poate neglija).
Matematic, suma ariilor acestui numar infinit de straturi concentrice de forma sferica va fi egala cu volumul sferei. S(f(x);x (0, R)) = V sfera Asa cum se invata la meditatii matematica, sumele infinite pot fi calculate cu ajutorul integralei definite: I(0, R) f(x)dx = V sfera = (4PI R^3)/3, unde f(x) reprezinta aria sferei de raza x . Aplicand formula Leibniz - Newton de calcul a integralei definite obtinem ca: F(R)-F(0) = (4PI R^3)/3, unde F(x) este o primitiva a lui f(x). f(x) = ((4PI x^3)/3)'+ c => f(x) = 4PI x^2 + c , unde c este o constanta ce trebuie determinata. Atunci cand raza sferei este 0, aria sferei trebuie sa fie in mod evident egala cu 0: f(0) = 0 => f(0) = 4PI * 0 + c = 0 => c = 0. Asadar f(x) = 4PI x^2 . Cu alte cuvinte, aria unei sfere de raza x este 4PI x^2. In concluzie, aria sferei de raza R este: A sfera = 4PI R^2 .